Claude formalise le théorème de Fermat en version vérifiable

Anthropic affirme que des agents Claude ont produit, en 11 jours, la première formalisation complète et vérifiée par ordinateur du théorème de Fermat, un résultat mathématique célèbre démontré dans les années 1990 par Andrew Wiles et Richard Taylor. Ici, il ne s’agit pas de refaire la preuve, mais de la traduire en langage Lean pour qu’une machine puisse la vérifier pas à pas. Le sujet compte car cette étape peut accélérer la validation de travaux mathématiques complexes, y compris ceux générés par l’IA.

Quand la preuve devient du code, les mathématiciens regardent aussi le compteur

Formaliser une preuve signifie la convertir en une suite d’étapes logiques qu’un logiciel peut contrôler sans ambiguïté. Dans ce cas, Anthropic dit avoir utilisé 13 millions de lignes de code Lean et environ 29 500 théorèmes intermédiaires dans la preuve finale, issus de plus de 30 000 sous-résultats démontrés par des dizaines d’agents Claude. Le contraste est assez saisissant : des années de mathématiques condensées en une usine à vérifications.

Le projet s’inscrit dans un chantier déjà ouvert depuis 2024 par Kevin Buzzard, professeur à Imperial College London, qui mène une effort communautaire pour formaliser le théorème de Fermat dans Lean. Anthropic précise que Claude s’est appuyé sur une version simplifiée de la preuve de Wiles ainsi que sur des travaux déjà formalisés, dont ceux du projet de Buzzard. Autrement dit, l’IA n’est pas partie d’une page blanche héroïque ; elle a capitalisé sur une base mathématique déjà construite.

Des agents spécialisés, puis la discipline du suivi

Le projet a d’abord rencontré un problème très connu des équipes qui bricolent des agents longue durée : chacun avançait, puis perdait le fil global. Pour y remédier, les chercheurs ont utilisé Prove2Me, une plateforme ouverte développée par Tianyi Peng, chercheur chez Anthropic, avec des collaborateurs de Columbia University. L’outil a servi à suivre les dépendances entre morceaux de preuve, à coordonner le travail parallèle et à retrouver plus facilement les résultats réutilisables.

Anthropic dit avoir combiné Prove2Me avec un flux de travail multi-agents basé sur Claude Code. Le projet aurait consommé environ 6 milliards de jetons de sortie d’un modèle de recherche interne aux capacités comparables à celles de Claude Fable 5.1. La société a aussi partagé la formalisation sur GitHub et affirme qu’elle n’utilise que les trois axiomes standards de Lean, sans preuve omise ni axiome ajouté pour “faire tenir” l’argument. C’est le genre de détail qui rassure les mathématiciens, et qui évite à la preuve de ressembler à un meuble monté sans vis.

Ce que cela change pour la recherche mathématique

Kevin Buzzard a qualifié le résultat d’« extraordinary autoformalization achievement », selon Anthropic, en soulignant qu’il montre qu’une IA peut formaliser des travaux couvrant l’algèbre, l’analyse harmonique, la géométrie et la théorie des nombres. Pour la recherche, l’enjeu n’est pas seulement de gagner du temps sur un cas prestigieux. L’idée est surtout de rendre plus rapide la vérification de résultats humains ou générés par machine, à mesure que les modèles produisent davantage d’arguments, de conjectures et de brouillons de preuve.

Anthropic mise d’ailleurs sur cet usage de long terme. L’entreprise dit avoir élargi l’accès gratuit et à tarif réduit, ainsi que des crédits et des subventions pour des mathématiciens travaillant sur la formalisation et des projets scientifiques liés. Elle avait déjà appliqué une démarche similaire le mois dernier à un problème relié à l’hypothèse de Riemann, autre grande conjecture célèbre. Si l’IA finit un jour par toucher à l’un des problèmes du prix du millénaire, la formalisation ne sera peut-être que la partie la plus sage de l’histoire.